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逆三角関数の微分

数学微積

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今回は逆三角関数の微分についてです．
そもそも逆三角関数とはなんぞや，というところから解説してきます．

目次

逆関数
逆三角関数の導入
逆三角関数の微分

逆関数

逆関数と三角関数が合わさったものが逆三角関数です．
三角関数はご存知の通り， $sin{θ}$ や $cos{θ}$ ， $tan{θ}$ を使った関数のことです．
では逆関数の方を考えてみましょう．簡単な例を挙げて説明します．

$y = 2x$

この式の逆関数は次のように定義されます．

$x = 2y$

そうです． $x$ と $y$ を入れ替えてできた関数が逆関数です．
正確に言うと， $y=f(x)$ を $x$ について解き $x=g(y)$ となった時の関数 $g$ が逆関数ということです．
上の式も， $y$ について解くと，

$y=\frac{1}{2}x$

となります．これが逆関数です．
逆関数は $y=x$ に対して線対称になります．
図示するとこんな感じです．

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点A , B が $y=x$ に関して対称的であることが見て取れます．

これ以外に覚えておいた方が良いこととして， $x=g(f(x))$ となります．
どういうことかというと， $y=2x$ に $x=4$ を代入したとしましょう．得られる $y$ の値は $8$ です．
これを逆関数 $y=1/2x$ に代入すると， $y=4$ となり，最初に代入した $x=4$ と同じ値が得られます．

これは逆関数の定義を理解すれば当然のことと言えます．覚えておきましょう．

逆三角関数の導入

さて，前置きが長くなってしまいましたが，三角関数の逆関数について考えていきます．
まずは $sin{x}$ の逆関数を見ていきましょう．
定義に従って図示すると下図のようになります．

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$f(x)$ の取りうる値が $[-1, 1]$ ( $-1$ 〜 $1$ までの閉区間 ) なので， $g(x)$ の範囲は狭くなります．
同様に $cos{x}$ , $tan{x}$ についても図で見てみましょう．

f:id:Cardinal_Moon:20200913185120p:plain

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どうでしょう．イメージをつかんでいただけたでしょうか．

こんな関数もあるんだ，という理解で大丈夫です．

覚えておいた方が良いこととして，逆三角関数は異なる表記方法があります．

$\arcsin{x}$
$\arccos{x}$
$\arctan{x}$

のように，arc〇〇のような表記方法をする場合と，

$\sin^{-1}{x}$
$\cos^{-1}{x}$
$\tan^{-1}{x}$

の表記を取る場合があります．これだけは覚えておいてください．
ちなみに，どちらもアーク〇〇（例．アークサインエックス）のように発音します．

では前置きはこの辺にして，三角関数の微分に入っていきましょう！

逆三角関数の微分

はじめに逆関数の導関数の求め方を解説します．
$f(x)$ の逆関数を $g(x)$ と置くと，

$g(f(x))=x$

なので，両辺を微分して，

$g'(f(x))f'(x)=1$

となります（合成関数の微分を使用しています）．よって，

$g'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}$

となります！なんと単純な！
上の式と三角関数の微分で得た以下の公式を利用して，式変形していきます．

$(\sin{x})' = \cos{x}$

$(\cos{x})' = -\sin{x}$

$(\tan{x})'=\frac{1}{\cos^2{x}}$

まず $sin{x}$ の逆関数の微分から見ていきましょう．

$(\sin^{-1})'(\sin{x})=\frac{1}{(\sin{x})'}$

$=\frac{1}{\cos{x}}$

$=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2{x}}}$

となります．ややこしいですが， $g(x)$ の関数 $g$ にあたる部分が $sin{x}$ の逆関数， $x$ に代入されているのが $sin{x}$ という関係になっています．より一般的に書き直したいので， $sin{x} = X$ と置くと，

$(\sin^{-1}{X})'=\frac{1}{1-X^2}$

よって求めたい導関数は，

$(\sin^{-1}{x})'=\frac{1}{1-x^2}$

となります．
続いて同様に $cos{x}$ の逆関数の微分についても見ていきましょう．

$(\cos^{-1})'(\cos{x})=\frac{1}{(\cos{x})'}$

$=-\frac{1}{\sin{x}}$

$=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2{x}}}$

$cos{x} = X$ としてまとめて，

$(\cos^{-1}{X})'=-\frac{1}{1-X^2}$

よって求めたい導関数は，

$(\cos^{-1}{x})'=-\frac{1}{1-x^2}$

最後に $tan{x}$ の逆関数の微分についても見ていきましょう．

$(\tan^{-1})'(\tan{x})=\frac{1}{(\tan{x})'}$

$=\cos^2{x}$

$=-\frac{1}{1+(\tan{x})^2}$

$tan{x} = X$ としてまとめて，

$(\tan^{-1}{X})'=\frac{1}{1+X^2}$

よって求める導関数は，

$(\tan^{-1}{x})'=\frac{1}{1+x^2}$

以上です．お疲れ様でした！