文系と理系の交差点

文系と理系を行ったりきたりして生活しているエンジニアブログ

三角関数の微分

数学微積

f:id:Cardinal_Moon:20200912231701j:plain

今回は三角関数の微分について解説していきます．

現在のDeepLearningのアルゴリズムにも採用されているものもあります．覚えていない人は頑張って覚えましょう．

エンジニアの方は，思い出すために使っていただけたら嬉しいです．

目次

三角関数の基本極限
三角関数の微分

三角関数の基本極限

$tan{θ}$ は $sin{θ}$ ， $cos{θ}$ を用いて表現できるため， $sin{θ}$ ， $cos{θ}$ の導関数を求めることが基本になります．直接これらを導くことはできないため，先ずは次の式を値求めることから始めます．

$\lim_{ θ \to 0 } \frac{\sinθ}{θ}$

$\lim_{ θ \to 0 } \frac{1-\cosθ}{θ^2}$

ここで，原点Oを基準とする単位円（半径１の円）上の点A，Bを次のように取り，単位円に内接する直角三角形と外接する直角三角形を考えます．角BPOと角QAOはそれぞれ直角です．

f:id:Cardinal_Moon:20200913192448p:plain

扇型OABに着目します．扇型OABの面積は次のように表せます（面積をSとする）．

$S=\frac{1}{2}(OA)^2θ$

$S=\frac{1}{2}θ$

※ θは単位：ラジアンを示しています．360℃=2π (ラジアン)です．

面積に着目すると，△OBPの面積は下記のように表せます（△OBP=Tとする）．

$OP=OB\cdot\cosθ=\cosθ$

$BP=OB\cdot\sinθ=\sinθ$

$T=\frac{1}{2}\cdot OP\cdot BP=\frac{1}{2}\cosθ\sinθ$

△OAQも同様に（△OAQ=Uとする），

$OA=1$

$QA=OA\cdot \tanθ=\tanθ$

$U=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot QA=\frac{1}{2}\tanθ$

S,T,Uの大小関係は図より，

T(△OBP) ≦ S(扇型OAB) ≦ U(△OAQ) となる．よって，

$\frac{1}{2}\cosθ\sinθ \leq \frac{1}{2}θ \leq \frac{1}{2}\tanθ$

$\cosθ\sinθ \leq θ \leq \tanθ$

$\cosθ \leq \frac{θ}{\sinθ} \leq \frac{1}{\cosθ}$

θを０に近づけた時の極限を考えてみる．

$\lim_{ θ \to 0 } cosθ=1$

$\lim_{ θ \to 0 } \frac{1}{\cosθ}=1$

これらを利用して，はさみうちの原理より，

$\lim_{ θ \to 0 } cosθ \leq \lim_{ θ \to 0 } \frac{θ}{\sinθ} \leq \lim_{ θ \to 0 }\frac{1}{\cosθ}$

$1 \leq \lim_{ θ \to 0 } \frac{θ}{\sinθ} \leq 1$

$\lim_{ θ \to 0 } \frac{θ}{\sinθ} = 1$

分母分子を入れ替えても同様に，

$\lim_{ θ \to 0 } \frac{\sinθ}{θ} = 1$

となります！１つ目の証明が完了しました！２つ目の式は式変形と今回得た式を利用して証明していきます．

$\lim_{ θ \to 0 } \frac{1-\cosθ}{θ^2}=\lim_{ θ \to 0 } \frac{1-\cosθ}{θ^2}\cdot \frac{1+\cosθ}{1+\cosθ}$

$=\lim_{ θ \to 0 } \frac{1-\cos^2θ}{θ^2}\cdot \frac{1}{1+\cosθ}$

$=\lim_{ θ \to 0 }\{ (\frac{\sinθ}{θ})^2\cdot \frac{1}{1+\cosθ}\}$

$=\frac{1}{2}$

目標だった下記の式を求めることができました！
ようやく三角関数の微分に本格的に入っていくことができます．

$\lim_{ θ \to 0 } \frac{\sinθ}{θ}$

$\lim_{ θ \to 0 } \frac{1-\cosθ}{θ^2}$

三角関数の微分

前述の通り，まず $sin x$ , $cos x$ の導関数を求めていきます．

$(\sin{x})'=\lim_{ h \to 0 } \frac{\sin{x+h}-\sin{x}}{h}$

この式を変形するために，加法定理を使用します．加法定理は次のような定理です．

$\sin{(α+β)}=\sin{α}\cos{β}+\cos{α}\sin{β}$

これを使って，

$\lim_{ h \to 0 } \frac{\sin{x+h}-\sin{x}}{h}=\lim_{ h \to 0 } \frac{\sin{x}\cos{h}+\cos{x}\sin{h}-\sin{x}}{h}$

$=\lim_{ h \to 0 } \frac{\cos{x}\sin{h}-\sin{x}(1-\cos{h})}{h}$

$=\lim_{ h \to 0 } (\cos{x}\frac{\sinh}{h}-\sin{x}\frac{(1-\cos{h}}{h^2}\cdot h)$

$=\cos{x}\cdot{1}-\sin{x}\cdot{\frac{1}{2}}\cdot{0}$

$=\cos{x}$

求めたい式の値が求まりました！まとめると，

$(\sin{x})'=\cos{x}$

となります．この式に合成関数の微分を適用すると， $cosx$ の導関数も求めることができます．
（合成関数の微分を忘れた方はこちらを参照ください）

$(\cos{x})'={\sin{(\frac{π}{2}-x)}}'$

$=\cos{(\frac{π}{2}-x)}\cdot (\frac{π}{2}-x)'$

$=\sin{x}\cdot (-1)$

$=-\sin{x}$

まとめると，

$(\cos{x})'=-\sin{x}$

です．続けて $tanx$ の導関数も見ていきましょう．

$(\tan{x})'= (\frac{\sin{x}}{\cos{x}})'$

$=\frac{(\sin{x})'\cos{x}-\sin{x}(\cos{x})'}{(cos{x})^2}$

$=\frac{\cos^2{x}+\sin^2{x}}{cos^2{x}}$

$=\frac{1}{\cos^2{x}}$

意外と簡潔に終われましたね．導出完了です．お疲れ様でした．